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Die Masse der Erde
Bestimmen Sie also zunächst die Schwingungsdauer eines Fadenpendels, um daraus die Fallbeschleunigung
Ermitteln Sie möglichst genau seine Schwingungsdauer
Ermitteln Sie anschließend daraus die Fallbeschleunigung $g$.
Wie Sie wissen, sollte sich für diese ein Wert in der Nähe von $g\approx9,81 \frac{m}{s^2}$ ergeben.
Mit dem Fadenpendel zur Masse der Erde
(Allein) mit Hilfe eines Fadenpendels kann man die Masse der Erde bestimmen! Der Weg dahin wird auf dieser Seite vorgestellt, alle notwendigen Messdaten können Sie tet.folio-Seiten und den dort vorgestellten IBE mit Realexperimenten entnehmen. Man benötigt folgende Kenntnisse:
► Erstens die auf der vorangegangenen Seite bereits erwähnte Gleichung für die Schwingungsdauer eines
Fadenpendels $T=2 \pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}$ (gültig für kleine Amplituden),
► zweitens die Gravitationskonstante $G$, wie Sie sie auf zwei verschiedene Methoden
hier oder auch hier selbst bestimmen können,
► drittens den Erdradius $R_{Erde}$.
Da die Gravitationskraft an der Erdoberfläche nach dem Gravitationsgesetz $F_{ G }=G \cdot \frac{ m \cdot M_{ Erde } }{R_{Erde}^{ 2 } }$ beträgt, ergibt sich mit Hilfe der Gleichung $F_G=m \cdot g$ für die Gewichtskraft: $m \cdot g =G \cdot \frac{ m \cdot M_{ Erde } }{R_{Erde}^{2} }$ . Damit folgt für die Masse der Erde: $ \fbox{$M_{ Erde }= \frac{g }{ G } \cdot R_{Erde}^{ 2 }$}$.
Zunächst also zur Methode des Posidonius:
Bewegt man sich auf der Erde entlang eines Längenkreises (also genau von S nach N bzw. umgekehrt) um eine Strecke $Δs$, dann ändert sich dabei der Winkel $φ$, unter dem man den Himmelspol "über" dem Horizont sieht, um einen Betrag $Δφ$. Der Winkel $φ$ ist gleich der geografischen Breite $φ$ des Beobachtungsortes.
In einem Planetarium hat man die Möglichkeit, sich den Sternenhimmel von unterschiedlichen Orten auf der Erde aus anzusehen, also auch zu eben solchen zwei Orten, die auf demselben Längenkreis eine gewisse, bekannte Entfernung $Δs$ voneinander entfernt liegen - und dies auch noch zu derselben Zeit, sodass man damit die sichtbare Himmelspol-Höhenänderung $Δφ$ bestimmen kann.
Aus der Verhältnisgleichheit $\frac{Δs}{halber Erdumfang}=\frac{Δφ}{180°}$ kann man dann den gesamten Erdumfang und damit den Erdradius $R_{Erde}$ berechnen.
Im folgenden IBE können Sie sich die Meridianlinie einblenden lassen. Bei Betätigung der "+"- und "-"Taste kann der Ort auf der Erde entlang des Längengrades von Berlin (≈13°24' Ost) variiert werden, sodass sich in Abhängigkeit davon die Himmelspol-Höhenänderung $Δφ$ ergibt, wenn man gleichzeitig im rechten Teilbild einen hinreichend markanten Fixstern (mit Hilfe der roten Linie) verfolgt.
Ermitteln Sie anhand geeigneter Einstellungen zunächst für eine frei gewählte Strecke $Δs$ die sich ergebende Himmelspol-Höhenänderung $Δφ$.
Errechnen Sie anschließend den Erdradius $R_{Erde}$.
Die Methode des al-Biruni:
Die Grundidee für sein Messverfahren lässt sich in einer einfachen Skizze darstellen. Al-Biruni fand bei seinen Reisen im Norden des heutigen Pakistan einen heute nach ihm benannten Berg am Rande der großen und flachen Pundjab-Ebene, von dem aus ein ungehinderter Blick bis weit zum Horizont möglich war. Mit einem anderen von ihm entwickelten Verfahren gelang es ihm in einer vorbereitenden Messung, die Höhe $h$ des Berges sehr genau zu ermitteln. Sie war ihm also bekannt.
Zur Messung des Erdumfangs bzw. des Erdradius' $R_{Erde}$ peilte er nun vom Gipfel des Berges (Punkt $A$ der Skizze) aus die Horizontgrenze (Punkt $C$) an und konnte den Winkel $\alpha$ zwischen dieser Richtung und einer exakt horizontalen Linie (durch den Punkt $A$) bestimmen. Er erhielt einen Wert von $\alpha=0°34'$.
Beschreiben Sie eine Möglichkeit, wie al-Biruni bei der Bestimmung des Erdumfangs mit Hilfe der gemessenen Daten vorgegangen sein könnte. Al-Biruni kannte bereits die trigonometrischen Beziehungen in einem rechtwinkligen Dreieck.
Al-Biruni führte seine Messung des Erdumfangs um die Jahre 1020-1025 n.Chr. durch und erhielt ein Ergebnis, das um weniger als 1% von den heutigen Werten abweicht. Er nutzte dazu eine Idee, die schon etwa 200 Jahre vorher von Astronomen des Kalifen al-Ma’mun diskutiert wurde, damals aber wohl nicht umgesetzt werden konnte. Al-Biruni dagegen standen Instrumente für sehr genaue Winkelmessungen zur Verfügung, die es ihm neben astronomischen Präzissionsmessungen auch ermöglichten, geodätische Bestimmungen, wie die o. g. Berghöhenbestimmung, mit hoher Genauigkeit auszuführen.
Die Fallbeschleunigung $g$ wird häufig auch als Erdbeschleunigung bezeichnet - eine sprachlich nicht so glückliche Bezeichnung, da bei Fallversuchen nicht nur der fallende Gegenstand eine Beschleunigung, eben $g\approx9,81\frac{m}{s^2}$, erfährt, sondern aufgrund des Impulserhaltungssatzes auch die Erde.
Diese im Sinne des Wortes tatsächliche "Erd"-Beschleunigung ist aber aufgrund der Massenverhältnisse verschwindend gering.
Die Fallbeschleunigung an der Erdoberfläche ist keineswegs völlig ortsunabhängig. Blenden Sie hier eine Grafik ein, die für die Länder Westeuropas die unterschiedlichen Werte erkennen lässt,
Ermitteln Sie abschließend die Masse der Erde mit Hilfe der oben genannten Gleichung $M_{ Erde }= \frac{g }{ G } \cdot R_{Erde}^{ 2 }$.
Bleibt also noch der Erdradius $R_{Erde}$ zu ermitteln. Dazu gibt es viele Möglichkeiten, u. a.:
➡ Nachmessen des Erdumfangs: im Original etwas länglich, aber dafür mit Google-Earth/Google-Maps umso einfacher möglich.
➡ Schon interessanter: die Methode des Eratosthenes (um 200 v. Chr.), dem die Bestimmung des Erdumfangs als Erstem zugeschrieben wird.
➡ Nachfolgend wird zunächst die dem Prinzip des Eratosthenes ähnliche und auf Posidonius (um 100 v. Chr.) zurück gehende Methode genutzt, die die Beobachtung des Sternenhimmels von zwei verschiedenen Orten der Erde auf demselben Längengrad und mit bekanntem Abstand voneinander zum selben Zeitpunkt voraussetzt.
➡ Abschließend wird eine auf Abu r-Raihan Muhammad ibn Ahmad al-Biruni (973 - 1048) zurückgehende bereits sehr genaue Messung eingegangen.
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