Bestimmung der Gravitationskonstanten anhand einer Schwingung

Herleitung einer Formel für die experimentelle Bestimmung der Gravitationskonstanten $G$:

Es sei der Einfachheit angenommen, dass ohne Vorhandensein der beiden großen Kugeln der Masse $m_1$ sich der Torsionfaden zusammen mit den beiden kleinen Kugeln mit der Masse $m_2$ und dem Abstand $d$ vom Torsionsfaden in der Mittenstellung befinde; der Abstand zur Mitte der später hinzugefügten großen Kugeln sei $b$ (siehe Skizze rechts).
Man legt die großen Kugeln auf ihre Plätze und wartet ab, bis sich die kleinen Kugeln entweder zu der einen Seite oder zur anderen eingependelt haben und dabei den Endausschlagswinkel $\alpha$ einnehmen.

(1) Im Endzustand ist dann das rückdrehende Drehmoment des Torsionfadens gleich groß wie das durch die beiden anziehenden Gravitationskräfte zwischen den großen und kleinen Kugeln hervorgerufene:
$M=2\cdot F\cdot d = 2\cdot G\cdot \frac{m_1\cdot m_2}{b^2} \cdot d$.
Der Faktor $2$ berücksichtigt die Einzeldrehmomente der zusammengehörigen Kugelpaare.
Nach $G$ umgestellt, ergibt sich:
$G= \frac{M}{2}\cdot\frac{b^2}{m_1\cdot m_2\cdot d}$.

(2). Da alle Größen bis auf $M$ bekannt sind, muss $M$ noch anderweitig bestimmt werden:
Mit $M=D\cdot \alpha$ und $D=J\cdot\frac{4\pi^2}{T^2}$ ist $M=J\cdot\frac{4\pi^2}{T^2}\cdot \alpha$.
Und mit $J=m_2\cdot d^2$ also: $M=m_2\cdot d^2\cdot\frac{4\pi^2}{T^2}\cdot \alpha$.

Fasst man (1) und (2) zusammen, erhält man: $G= \frac{2\pi^2}{T^2}\cdot \alpha \cdot\frac{b^2\cdot d}{m_1}$. Ermittelt man also im Experiment die beiden Größen $T$ und $\alpha$, lässt sich die Gravitatonskonstante $G$ bestimmen, da die Gerätekonstanten $b=47\,\mathrm{mm}$, $d=50\,\mathrm{mm}$, $m_1=1{,}5\,\mathrm{kg}$ und $L=0{,}70\,\mathrm{m}$ bekannt sind.

Hinweise:
1. Die Ruhelage der kleinen Kugeln ohne die sie beeinflussenden großen Kugel ist in aller Regel nicht genau symmetrisch in der Mitte (siehe Skizze oben). Man kann nachrechnen, dass der dadurch begangene Fehler wegen der sehr kleinen Winkelausschläge für das Ergebnis jedoch nicht relevant ist.
2. Zu beachten ist, dass im Experiment die Endlagen der kleinen Kugeln um den Winkel $2\cdot\alpha$ auseinander liegen.

Die beiden kleinen mit dem Torsionsfaden verbundenen Kugeln seien anfangs durch die Gravitationskraft der äußeren Kugeln ausgelenkt und in Ruhe. Diese Ruhelage ist dann eine Gleichgewichtslage (1) zwischen der anziehenden Wirkung der großen Kugeln einserseits und der rücktreibenden Kraft durch die vorhandene Verdrillung des Torsionsfadens andererseits.
Bringt man die äußeren Kugeln in die andere mögliche Position, wirkt aufrund der Gravitation eine Kraft, die in Verbindung mit der Kraft aufgrund der Verdrillung des Aufhängefadens zu einer gedämpften Schwingung des kleinen Kugelpaares führt. Im Realexperiment kommt diese Schwingung nach ca. 100 Minuten in der Gleichgewichtslage (2) zur Ruhe.
Ein erneutes Umlegen des äußeren Kugelpaares in die ursprüngliche Position führt dann wiederum zu einer gedämpften Schwingung um die sich wieder nach ca. 100 Minuten einstellende vorherige Gleichgewichtslage (1).

Die hier verwendete Methode wertet die Schwingungsdauer der entstandenen Schwingungen, den Auslenkungswinkel zwischen den Ruhelagen sowie einige Gerätekonstanten aus, um die Gravitationskonstante $G$ zu bestimmen.

Im Kapitel "Weltbilder und Gravitation" wird u. a. die Gravitationskonstante $G$ mittels der Auswertung einer Messreihe mit der Gravitationsdrehwaage ermittelt, indem die anfängliche Beschleunigung bestimmt wird, mit der beim Umlegen der großen Kugeln die kleinen Kugeln beginnen, sich zu aus der zuvor eingenommenen Ruhelage wegzubewegen (sog. Beschleunigungsmethode). Die beiden kleinen Kugeln führen anschließend eine deutlich gedämpfte Schwingung aus, die man in ihrer Gesamtheit ebenfalls zur Bestimmung von $G$ heranziehen kann, was aber Kenntnisse über Drehschwingungen und über physikalische Größen bei Drehbewegungen voraussetzt.

Vorweg seien folgende Informationen zu Drehschwingungen gegeben:

Vergleicht man Drehschwingungen mit linearen Schwingungen, wie sie beispielsweise beim Federpendel auftreten, dann lassen sich u. a. folgende Analogien benennen, die später genutzt werden:

Der Auslenkung $s$ beim Federpendel entspricht der Verdrillingswinkel $\alpha$ beim Drehpendel.
Der Masse $m$ des Federpendelkörpers entspricht das Trägheitsmoment $J$ des am Drehpendel angebrachten Körpers. Beispielsweise gilt für das Trägheitsmoment $J$ eines Körpers der Masse $m$ im Abstand $d$ von der Drehachse: $J=m\cdot d^2$.
Der rücktreibenden Kraft $F$ beim Federpendel entspricht das rückdrehende Drehmoment $M$ beim Torsionspendel.
Damit entpricht der Federkonstante $D'=\frac{F}{s}$ beim Drehpendel die Winkelrichtgröße $D=\frac{M}{\alpha}$, oder anders ausgedrückt entspricht der Gleichung $F=D'\cdot s$ beim Federpendel die Gleichung $M=D\cdot \alpha$ beim Drehpendel. Beachte: $\alpha$ muss im Bogenmaß angegeben werden.
In Analogie zur Schwingungsdauer $T=2\pi\cdot\sqrt{\frac{m}{D'}}$ eines Federpendels ergibt sich die Schwingungsdauer eines Drehpendels zu: $T=2\pi\cdot\sqrt{\frac{J}{D}}$ , oder nach $D$ umgestellt: $D=J\cdot\frac{4\pi^2}{T^2}$ .

Die Messaufnahme der Position $S$ des LASERs auf den Fotodioden kann durch Anklicken des Knopfes START über dem Diagramm links auf dem Monitor begonnen werden. Die Darstellung läuft dabei in Zeitraffer ab.
Die Bewegung der kleinen Kugeln (und des Lichtzeigers) wird durch Umlegen der großen Kugeln gestartet. Dazu kann die (vordere) große Kugel durch "Anfassen" aus der einen Position (z. B. links) in die andere Position (z. B. rechts) hin und her geschwenkt werden.
Das Monitorbild kann durch Klick auf das Symbol rechts oben vergrößert werden.
Auf der Rechtsachse wird die Realzeit angegeben, auf der Hochachse ist die Position des Lichtzeigers, wie er sich für die - sehr kleinen - Winkelausschläge am Spiegel des Torsionsfadens ergibt, aufgetragen.
Mit der verschiebbaren roten Hilfslinie, die durch Anklicken des Knopfes HL in der Monitorvergrößerung angezeigt wird, können die Messwerte abgelesen werden.

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Bestimmen Sie anhand der Messwerte für $T$ und $\alpha$ sowie der Gerätekonstanten: $b=47\,\mathrm{mm}$, $d=50\,\mathrm{mm}$, $m_1=1{,}5\,\mathrm{kg}$ und $L=0{,}70\,\mathrm{m}$ die Gravitationskonstante $G= \frac{2\pi^2}{T^2}\cdot \alpha \cdot\frac{b^2\cdot d}{m_1}$.

Starten Sie die Messung durch Anklicken des Knopfes START auf dem Monitor.
Schwenken Sie die großen Kugeln in die gegenüberliegende Position.
Beobachten Sie die Messwerte auf dem Monitor, bis keine Schwingungen mehr wahrgenommen werden.
Beachten Sie dabei, dass die Messzeit in Zeitraffer wiedergegeben wird.
Vergrößern Sie das Monitorbild, um genauer ablesen zu können.
Messen Sie die Periodendauer $T$ der beobachteten Schwingung.

Zeigen Sie, dass man den Winkel $\alpha$ anhand der geometrischen Daten $L$ und $S$ errechnen kann.
Beachten Sie die Skizze oben und berechnen Sie $\alpha$ im Bogenmaß.