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Das Fadenpendel: beliebige Amplitude / Modell / Simulation
Auf den voranstehenden Seiten zum Fadenpendel wurde immer betont, dass die Auslenkungen einen Winkel von ca. 10° nicht überschreiten sollten. Der Grund hierfür liegt darin, dass die Schwingungsdauer $T$ eines Fadenpendels eben doch von seiner Amplitude abhängig ist. Diese Abhängigkeit bleibt jedoch bei Winkeln bis zu 10° innerhalb der (schulüblichen) Messungenauigkeiten, macht sich aber mit zunehmenden Auslenkungswinkeln immer deutlicher bemerkbar.
Auf dieser Seite soll dieser Sachverhalt anhand der Auswertung einer Videoaufzeichnung eines "Fadenpendels" mit sehr großen Amplituden (hier als Stabpendel realisiert), anhand einer Simulation und anhand eines Modells in einer Tabellenkalkulation erkundet werden.
Hinweis: Die Herleitung des mathematischen Zusammenhangs zwischen Amplitude und Schwingungsdauer in geschlossener Form als Gleichung ist elementar nicht möglich. Man kann das Schwingungsverhalten aber durch iterative Rechnung hinreichend genau approximieren. Einen Eindruck der mathematischen Schwierigkeiten erhalten Sie hier oder hier.
Abschließend wird jetzt nach der Auswertung eines Realexperiments zur Bestimmung der Schwingungsdauer $T$ eines Stabpendels mit beliebig großen Auslenkungen (Video oben) und dem Vergleich mit Ergebnissen einer Simulation nun noch ein Berechnungsmodell mit einer Tabellenkalkulation vorgestellt. Dieses basiert auf einer einzigen(!) physikalischen Grundlage, nämlich dass sich die Beschleunigung beim Fadenpendel exakt berechnet zu $a=-g\cdot sin(\frac{s}{l})$.
Bei (fast) beliebig zu variierenden Startwerten berechnet das Modell iterativ, also von einem Zeitpunkt zum nächsten, die Bewegung des Pendels in kleinen Zeitschritten $Δt$, indem anhand der Beschleunigung die Geschwindigkeit und daraus wiederum die neue Position berechnet wird. Mit der so berechneten neuen Position beginnt die Rechnung der Beschleunigung nach der der bekannten Formel wieder von Neuem.
Sie finden nebenstehend eine Excel-Datei zum Download, die eine solche Berechnung mit Hilfe dieses
Modells durchführt und die Ergebnisse visualisiert.
Im Folgenden sehen Sie eine Simulation der Schwingung eines Fadenpendels, das an dieser Stelle sogar bis zu 179° ausgelenkt werden kann.
"Messen" Sie dort mit geeigneten einblendbaren Hilfsmitteln die Schwingungsdauern insbesondere auch für sehr große Startauslenkungen (bis 179°). Stellen Sie dazu diejenige Pendellänge ein, die im Video des Realexperiments oben vorlag. Beschreiben Sie die Abhängigkeit der Schwingungsdauer vom Startwinkel.
Nach dem Start der Simulation:
Man kann das Fadenpendel bis zu 180° auslenken, indem man zunächst den Pendelkörper "anfasst" und anschließend in der Nähe der Winkelskala den Faden bis zur gewünschten Auslenkung bewegt. Mit dem Tool "Periode Zeit" kann man anschließend bequem die Schwingungsdauer ermitteln.
Bitte zunächst die Menüoption "Experimente" anwählen.
Achtung: Dezimalpunkt statt -komma eingeben.
Simulation eingefügt als offenes Bildungsdokument unter der Creative Commons Attribution Lizenz (CC-BY).
PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder https://phet.colorado.edu
Verwenden Sie das nachfolgende Video, um mit seiner Hilfe die Schwingungsdauern des dargestellten Stabpendels in Abhängigkeit von seinen Amplituden auch bei großen Auslenkungswinkeln zu ermitteln.
Bestimmen Sie die Länge des hier verwendeten Pendels mit Hilfe des frei beweglichen Maßstabs. Sie erhalten damit eine direkte Vergleichsmöglichkeit mit den weiter unten folgenden Daten aus einer Simulation und einem Modell.
Die Masse des Pendelkörpers betrug $m=200g$.
Achtung: Dezimalpunkt statt -komma eingeben.
Hinweis zur Messung: Messen Sie aufgrund der recht großen Dämpfung für große Amplituden lediglich eine halbe Periode bzw. sogar nur eine Viertelperiode einer Schwingung aus und schätzen Sie anhand der links- und rechtsseitigen Amplitude den zugehörigen Mittelwert der Auslenkung.
Ermitteln Sie für diejenigen Winkelgrößen, für die Sie oben Messungen ausgeführt haben, die Ergebnisse anhand des Modells. Belassen Sie dabei zunächst alle Parameter in der Voreinstellung und variieren Sie dazu lediglich den Startwinkel.
Achtung: Dezimalpunkt statt -komma eingeben.
Die Excel-Dateien wurden auf einem Windows-PC erstellt. Sie enthalten teilweise VBA-Makros und ActiveX-Steuerelemente. Daher sind sie ggf. nicht kompatibel mit Rechnern anderer Betriebssysteme und auch auf Tablets i. d. R. nicht lauffähig.
In der folgenden Grafik erhalten Sie zum Vergleich die drei gemessenen Kurven in einem Diagramm.
Farbzuordnung: Realmessung in rot, PhET-Simulation in blau, Modell-Rechnung in grün.
