Exkurs: Das Cavendish-Experiment und die Gleichgewichte an der Drehwaage

Auf dieser Seite wurden die Gravitationswaage und die Wechselwirkung zwischen den großen und den kleinen Kugeln qualitativ betrachtet. An dieser Stelle kann das Zusammenspiel der verschiedenen und für das Verhalten der kleinen Kugeln maßgeblichen Drehmomente untersucht und plausibel gemacht werden. Dabei wird dies lediglich für die Anwesenheit einer der beiden großen Kugeln durchgeführt, da die zweite große Kugel lediglich zu einer Verdopplung der Wirkung führt.
Hinweis: Es handelt sich bei dem hier vorgestellten mathematischen Modell um rein idealisiert punktförmige(!) "Massen", warum beispielsweise die kleine Kugel durch die große "hindurchbewegt" werden kann.

Im folgenden Modell kann man die Drehwirkung (das Drehmoment) studieren, das aufgrund der Gravitationswirkung in Verbindung mit einer der beiden großen Kugeln der Gravitationswaage auf die beiden kleinen Kugeln ausgeübt wird. Dabei wird dieses Drehmoment zwar in einer willkürlichen, angepassten Größenordnung berechnet, es werden jedoch untereinander die Abstände sowie die jeweiligen relevanten Winkel korrekt berücksichtigt. Gleiches gilt für das Drehmoment aufgrund der Verdrillung des Aufhängefadens.
Zusätzlich zu den jeweils aktuellen Werten der Drehmomente können die gesamten Graphen für das gravitativ bedingte Drehmoment und das durch Fadenverdrillung bedingte Drehmoment eingeblendet werden.
Hinweis: Bei zu kleiner Darstellung bitte die Originaldatei mit dem orange-farbenen "S"-Button öffnen (es erscheint eine neue Seite in einem eigenen Tab mit zusätzlicher Option zur Vollbilddarstellung). Für die Berechnungen sind allein die Massen (-mittelpunkte) der Kugeln ausschlaggebend, die dargestellten Kugelgrößen dienen nur der Anschauung.

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Lassen Sie die große Kugel zunächst ausgeblendet. Bewegen Sie die rechte kleine Kugel $K_2$ ein wenig auf und ab und beobachten Sie das dabei vom Aufhängefaden hervorgerufene und angezeigte Drehmoment $M_{Fad}$.
Nennen Sie die Bedeutung des Vorzeichens hinsichtlich der Drehrichtung.

Blenden Sie den Graphen zu $M_{Fad}$ ein und erläutern Sie dessen Verlauf.

Finden Sie, ohne(!) den gesamten Funktionsgraphen zu $M_{gravges}$ einzublenden, diejenige Position(en), bei denen das gesamte Drehmomenz $M_{Fad}+M_{gravges}$ nahezu null ist, und beschreiben Sie hierfür die Drehwirkungen durch den Torsionsfaden und aufgrund der Gravitation.

Begründen SIe, warum im Realexperiment mit der Gravitationsdrehwaage die kleine Kugel zunächst nicht in dieser Gleichgewichtslage verharrt, sondern eine gedämpfte Schwingung um sie herum ausführt und erst später in ihr als Endposition zur Ruhe kommt.

Blenden Sie jetzt die große Kugel sowie die Anzeige der Gavitationskräfte $F_{K2K1}$ und $F_{K2'K1}$ ein, die von der großen Kugel auf die beiden kleinen Kugeln ausgeübt wird.
Begründen Sie qualitativ den Verlauf der beiden Kräfte, wenn Sie die rechte kleine Kugel auf dem vorgegebenen Halbkreis bewegen.

Begründen SIe, warum die Drehwirkung auf die kleinen Kugeln sicher nicht dann am größten ist, wenn die beiden kleinen und die große Kugel genau auf einer Linie liegen, obwohl dann die Gravitationskraft sicher am größten ist, da dann der Abstand minimal ist.
Beschreiben Sie diese Drehwirkung qualitativ mit Hilfe der beiden Gravitationskräfte $F_{K2K1}$ und $F_{K2'K1}$ sowie Hilfe des damit errechneten Drehmoments $M_{gravges}=M_{K2K1}+M_{K2'K1}$.

Soll ein Gegenstand um eine (durch ihn gehende) Achse gedreht werden, benötigt man eine Kraft $\vec F$, die in einem bestimmten Abstand $\vec r$ von der (späteren Dreh-) Achse angreift. Für die Stärke der Drehwirkung (bekannt vom Hebelgesetz), die man mit dem Wort Drehmoment bezeichnet, sind selbstverständlich die Beträge von $\vec F$ und $\vec r$ relevant, aber in besonderem Maße auch der Winkel $\gamma$ zwischen diesen beiden Größen. Ist beispielsweise $\gamma=0°$ oder auch $\gamma=180°$ groß, entsteht überhaupt keine Drehwirkung, für $\gamma=90°$ wird die Drehwirkung maximal.