Drehimpuls und Drehimpulserhaltungssatz (1)

Bei geradlinigen Bewegungen von Körpern sind u. a. die physikalischen Größen Masse $m$, Geschwindigkeit $ \vec{v}$ und Impuls $ \vec{ p }=m \cdot \vec{ v }$ häufig von Interesse, auch weil in Bezug auf die Impulse miteinander wechselwirkender Körper dem Impulserhaltungssatz als einer von wenigen Erhaltungssätzen in der Physik eine besondere Bedeutung zukommt.
Leitet man aus den bekannten Gesetzmäßigkeiten für die Translation Gesetzmäßigkeiten für die Rotation von (starren) Körpern her, dann stellt man fest, dass folgende Zuordnungen möglich sind:

Der Masse $m$ entspricht das sog. Trägheitsmoment $J$: Bei der Translation versteht man unter der Masse $m$ eines Körpers das Maß für seine "Trägheit", also für sein "Hemmungsvermögen" bei der Veränderung seiner ansonsten geradlinig-gleichförmigen Bewegung. Bei der Rotation entspricht dies dem "Hemmungsvermögen" eines rotierenden Körpers in Bezug auf die Veränderung seiner Drehung; es hängt nicht nur von seiner Masse allein ab, sondern auch von dessen Abstand von der Drehachse: der Fachbegriff dafür lautet Trägheitsmoment $J$.
Der Geschwindigkeit $ v =\frac{ Δs }{Δt}$ entspricht die Winkelgeschwindigkeit $\omega=\frac{Δ\varphi}{Δt}$: Der in einer gewissen Zeit $ Δt$ zurückgelegten Wegstrecke $ Δs$ entspricht bei der Rotation der in einer gewissen Zeit $ Δt$ überstrichene Winkel $ Δ\varphi$. Dabei sind die Winkel im Bogenmaß anzugeben.
Analog zu Eigenschaften der Geschwindigkeit ist noch zu berücksichtigen, dass man, wie bei der Geschwindigkeit $\vec{v}$ auch der Winkelgeschwindigkeit $\vec{ \omega }$ einen Vektor zuordnen kann:
Dreht sich ein Körper um eine Achse, soll die Richtung von $\vec{\omega}$ diejenige Richtung sein, die derjenigen einer Rechtsschraube bei dieser Drehung entspricht bzw. diejenige, die der Daumern der rechten Hand angibt, wenn die anderen Finger der Bewegung des Körpers folgen (zur Veranschaulichung hier klicken).

Nutzt man beide Analogien für den Impuls $\vec{ p }$, kommt man zum Drehimpuls $\vec{ L }$: Aus $ \vec{ p }=m \cdot \vec{ v }$ wird dann $ \vec{ L }=J \cdot \vec{ \omega }$.

Zu den beiden oben dargestellten Analogien kommen die Ursachenbeschreibungen für Veränderungen hinzu: Bei der Translation ist dies die Kraft und bei der Rotation das Drehmoment. Dazu finden Sie auf dieser Seite genauere Angaben in Verbindung mit einem Experiment, das Sie unbedingt auch einmal in Ihrer Schule selbst durchführen sollten.

An dieser Stelle soll zunächst ein Experiment plausibel die Konstanz des Drehimpulses zeigen: Schauen Sie sich dazu dieses Video und die ersten 50 Sekunden dieses zweiten Videos und zum sog. Pirouetteneffekt im Internet an. Diesen Versuch sollten Sie auch selbst in der Schule unbedingt - aber mit Vorsicht - durchführen, um die Wirkung eines veränderten Trägheitsmoments bei einer Rotation zu "spüren" und zu "erfahren".

Geben Sie Gründe an, warum der Versuch so, wie er im ersten Video vorgeführt wird, vorsichtig durchgeführt werden sollte.
Beschreiben Sie kurz eine geänderte, weniger unfallträchtige Versuchsdurchführung.

Tipp

Beschreiben Sie eine Möglichkeit für die Verstärkung des gezeigten Effekts.

Entkräften Sie den möglichen Einwand, dass in beiden Videos die Drehimpulse nicht konstant bleiben, da offensichtlich die Rotaton der Person immer wieder zum Stillstand kommt, wenn man hinreichend lange wartet.

Ermitteln Sie quantitativ für (mindestens) zwei verschiedene Abstände $r$ vor und nach einer Veränderung der Hantelentfernung vom Drehzentrum deren kinetische Energie mittels $E_{kin}=2\cdot (\frac{1}{2} m v²)=m \cdot v²$, indem Sie den Zusammenhang $v=\omega \cdot r$ nutzen und die sich jeweils einstellende Winkelgeschwindigkeit $\omega$ der Simulation entnehmen.
Nehmen Sie Stellung zum Ergebnis des Vergleichs beider ermittelter Werte und argumentieren Sie, warum dies keinen Widerspruch zum Energieerhaltungssatz darstellt.

Im Folgenden soll der Pirouetteneffekt anhand einer Simulation etwas näher analysiert werden.
Stellen Sie zunächst die anfänglich gewünschten Größen ein: die Masse $m$ jeder der beiden Hantelkörper, ihren Abstand $r$ vom Drehzentrum sowie die Winkelgeschwindigkeit $\omega$, mit der sich die Hantel drehen soll.
Nachdem die Simulation gestartet wurde, haben Sie die Gelegenheit, die Entfernung der beiden Hantelkörper vom Drehzentrum (symmetrisch) zu variieren. Wie in den o. g. Videos gesehen, reagiert das System darauf mit einer Veränderung der Rotationsgeschwindigkeit.
Hinweis: Das Trägheitsmoment eines "punktförmigen" Körpers der Masse $m$ im Abstand $r$ von einem Drehzentrum kann man berechnen, es ergibt sich $J=m\cdot r^2$; in der Simulation handelt es sich um zwei solcher Körper auf einer "masselosen" Stange.

S

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Tipp

Bestätigen Sie an (mindestens) einem Beispiel, dass bei Veränderung der Entfernung der Hantelkörper während(!) des Drehens sich zwar deren Winkelgeschwindigkeit verändert, aber der Drehimpuls des Systems gemäß der Gleichung $L=J\cdot\omega$ (s. o.) gleich bleibt.

Beachten Sie, dass sich bei Veränderung des Radius' auch das Trägheitsmoment ändert.

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Eine weitere Animation, die die Möglichkeit zu quantitativen Betrachtungen bietet, finden Sie an dieser Stelle.
Vielleicht schauen Sie sich darüber hinaus auch einige andere der vielen auf der zugehörigen Homepage abrufbaren anschaulichen Animationen aus dem Bereich der Physik an...