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Exkurs: Zur Berechnung der Tonfrequenzen
Im IBE können die Frequenzen der Grundtöne zu den weißen Tasten eingeblendet werden. So beträgt die Frequenz der Taste mit der Notation ,,A (Bezeichnung für die Taste am linken Rand) $f(,,A)=27,50Hz$, diejenige für die Taste ,A eine Oktave darüber genau das Doppelte, also $f(,A)=55,00Hz$. Entsprechend ergibt sich für die Taste am rechten Rand der im IBE bespielbaren Tastatur $f(A)=110,00Hz$.
Die Begründung dieser Frequenzen ergibt sich durch die Festlegung des Kammertons a' zu $f_{a'}=440Hz$, der weitere zwei Oktaven über A liegt. Damit ergeben sich für die acht Oktaven einer Klaviatur die Frequenzwerte in der unten stehenden Tabelle. Die Nummerierung der Tasten beginnt dort mit 0 und berücksichtigt die weißen und schwarzen Tasten.
Die Zahlenwerte werden offensichtlich durch eine Exponentialfunktion mit der Basis 2 beschrieben: Ordnet man der Taste mit der Frequenz $f(,,A)=27,50Hz=27.50 \cdot 2^0 Hz$ die Nummer 0 zu, gilt für die Taste mit der Nummer 12 $f(,A)=55,00Hz=27.50 \cdot 2^1 Hz$, für die Taste mit der Nummer 24 $f(A)=110,00Hz=27,50 \cdot 2^2 Hz$, für die Taste mit der Nummer 36 $f(a)=220,00Hz=27,50 \cdot 2^3 Hz$, für die Taste mit der Nummer 48 (Kammerton) $f(a)=440,00Hz=27,50 \cdot 2^4 Hz$ usw.
Passen Sie in der nachstehenden Funktionsgleichung den Parameter $a$ so an, dass die zugehörige Exponentialkurve möglichst gut durch die vorgegebenen Punkte verläuft.
Tipps
Begründen Sie, warum exakt gilt: $a=\frac{1}{12}$, d. h. $y=27,5 \cdot \left( \sqrt[12]{2} \right)^x$.
Leiten Sie die allgemeine Darstellung $y=f_n \cdot \left( \sqrt[12]{2} \right)^{(x-n)}$ her, wenn $n$ die Nummer einer beliebigen, aber fest gewählten Taste und $f_n$ die zugehörige Frequenz bedeuten.
Berechnen Sie mit Hilfe der Formel einige weitere Werte der Tabelle, um insbesondere die Angaben der Frequenzen im IBE zu bestätigen (die Nummern der Tasten sind bereits voreingestellt).
Achtung: Dezimalpunkt statt -komma eingeben.
Tipp 1
Tipp 3
Tipp 2
Jede Oktave besteht aus 12 Tasten, weiße und schwarze müssen gleichermaßen gezählt werden.
Nach einer Oktave, also 12 Stufen, muss das Frequenzverhältnis 2:1 erreicht sein.
Aufgrund der vorliegenden Exponentialfunktion muss das Frequenzverhältnis zwischen zwei aufeinander folgenden Tasten immer gleich sein. Dies ist eines der verschiedenen Kriterien für das Vorliegen einer Exponentialfunktion.
Weisen irgendwelche Töne das Frequenzverhältnis 2:1 auf, hören wir diese Töne immer im Abstand einer Oktave, unabhängig von den konkreten Frequenzwerten.