Grundlagen: Faden- und Federpendel

b) Eine "experimentbasierte" Lösung:

Dass die Sinusfunktion eine Lösung der oben eingerahmten Gleichung darstellt, kann man (zusätzlich oder alternativ) auch mit einem Experiment zeigen:

Man projiziert einen auf einer sich drehenden Scheibe befestigten Stift sowie ein neben der Scheibe schwingendes Federpendel auf eine Wand. Vergleicht man diese Projektionen, dann stellt man eine vollständige Übereinstimmung beider Bewegungsformen in der Schattenprojektion fest - wenn die Scheibe mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit, also gleichförmig, gedreht wird. Dieses Video zeigt eine Zeitlupenaufnahme, die den Vorgang sehr gut veranschaulicht - und mit Hilfe dieser Seite können Sie nachvollziehen, warum dann die Bewegung des Pendels sinusförmig verläuft.

Gleiches kann man auch mit einem Fadenpendel (bei kleinen Auslenkungen) beobachten, wie dieses Video der ETH Zürich ebenfalls sehr überzeugend zeigt.

Hinweis 1:
In der Physik verwendet man für die so häufig vorkommenden Ableitungen nach der Zeit einen Punkt über dem Symbol anstelle des aus dem Mathematikunterricht bekannten Ableitungsstrichs hinter dem Symbol. Als Beispiel: $\dot s=\frac{ds}{dt}=v$.
Hinweis 2:
Es wäre sehr nützlich, wenn Sie bereits die wichtigsten Ableitungsregeln aus dem Mathematikunterricht kennen würden. Fragen Sie ggf. dort einmal nach.

Auf den tet.folio-Seiten zum Faden- und zum Federpendel haben Sie Eigenschaften dieser beiden Pendel experimentell kennengelernt. An dieser Stelle sollen nun die wichtigsten mathematischen Beschreibungen zu diesen beiden Pendeln dargestellt werden.

Beiden Pendeln ist gemeinsam, dass die rücktreibende Kraft proportional zur Elongation und zu ihr entgegen gerichtet ist: $F=-k\cdot s$. Mit $F=m \cdot a$ folgt als Bewegungsgleichung $m \cdot a=-k\cdot s$ bzw.

$\fbox{$m \cdot a+k\cdot s=0$}$ .

Hinweis: Für das Fedenpendel gilt dies zwar nur angenähert, die Verwendung ist aber für auf maximal 10° eingeschränkte Auslenkungen hinsichtlich der nur kleinen Abweichungen gut vertretbar.

Diese Gleichung beschreibt den zu jedem Zeitpunkt $t$ gültigen Zusammenhang zwischen Beschleunigung $a(t)$ und Elongation $s(t)$ dieser Pendel, sodass man bei der Suche nach zeitlichen Bewegungsformen solche Funktionen für $s(t)$ und $a(t)$ sucht, die diese Gleichung zu jedem Zeitpunkt erfüllen.

a) Eine "mathematische" Lösung:

Um eine solche Lösung zu finden, nutzt man zunächst aus, dass die Beschleunigung $a$ die zweite Ableitung des Ortes $s$ nach der Zeit ist: $v=\frac{ds}{dt}=\dot s$ und $a=\frac{dv}{dt}=\ddot s$. Damit nimmt die oben eingerahmte Gleichung die Gestalt an: $\fbox{$m \cdot \ddot s+k \cdot s = 0$}$ (zwei Hinweise).
Eine Lösungsfunktion, die für $s$ eingesetzt, die Gleichung zu jedem Zeitpunkt erfüllt, ist: $s(t)=s_0 \cdot sin(\omega \cdot t)$, also eine Simusfunktion.
Mit $\ddot s(t)= -s_0 \cdot \omega^2 \cdot sin(\omega \cdot t)$ folgt: $-m \cdot s_0 \cdot \omega^2 \cdot sin(\omega \cdot t)+k \cdot s_0 \cdot sin(\omega \cdot t)=0$ bzw. mittels Distributivgesetz umgeformt $(-m \cdot \omega^2 + k) \cdot s_0 \cdot sin(\omega \cdot t)=0$. Die Gleichung ist tatsächlich für alle Zeitpunkte erfüllbar, nämlich dann, wenn $\omega=\sqrt \frac{k}{m}$ ist. Mit $\omega=2\pi \cdot f= \frac{2\pi}{T}$ ergibt sich $T=2\pi \cdot \sqrt \frac{m}{k}$.

Herleitung der Gleichung $T=2 \pi\cdot\sqrt{\frac{l}{g}}$ für die Schwingungsdauer eines (harmonisch schwingenden) Fadenpendels:

Der entscheidende Ansatz für die Berechnung der Schwingungsdauer ist die Berechnung der rücktreibenden Kraft auf den ausgelenkten Pendelkörper. Ganz allgemein gilt für das Fadenpendel: Ist $F_G=m \cdot g$ der Betrag der Gewichtskraft des Pendelkörpers, dann ist $ \frac{ F }{ F_G }=sin(\varphi)=sin(\frac{s}{l})$, also $F=m\cdot g\cdot sin(\frac{s}{l})$. Für kleine Werte einer Zahl $x$ stimmt $sin(x)$ annähernd mit dem Wert $x$ selbst überein (ist $x$ ein Winkel, ist dieser im Bogenmaß anzugeben): $sin(x) \approx x$ (sog. Kleinwinkelnäherung). Dann erhält man also: $F=m\cdot g\cdot sin(\frac{s}{l}) \approx m\cdot g\cdot \frac{s}{l} = \frac{m\cdot g}{l} \cdot s$, also eine direkte Proportionalität zwischen der rücktreibenden Kraft $F$ und der Auslenkung $s$. Es handelt sich folglich um eine harmonische Schwingung.

Die Bewegungsgleichung:

Da es sich bei der Rückstellkraft um eine der Elongation immer entgegen gerichtete Kraft handelt, ist $F=-\frac{m\cdot g}{l} \cdot s$. Mit $F=m \cdot a$ folgt $m \cdot a=-\frac{m \cdot g}{l}\cdot s$, oder umgestellt: $l \cdot a+g \cdot s=0$. Damit hat man die Struktur der oben eingerahmten Gleichung und kann deren Ergebnisse nutzen.

Aus den oben stehenden allgemeinen Vorüberlegungen folgt damit: $\underline{\underline{T=2 \pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}}}$.

Herleitung der Gleichung $T=2 \pi\cdot\sqrt{\frac{m}{D}}$ für die Schwingungsdauer eines Federpendels:

Der entscheidende Ansatz für die Berechnung der Schwingungsdauer ist auch hier die Berechnung der rücktreibenden Kraft auf den ausgelenkten Pendelkörper.

Hängt man einen Gegenstand an eine vertikal angebrachte Feder, verlängert er aufgrund seiner Gewichtskraft diese um ein gewisses Stück $s_0$. Hebt oder senkt man ihn anschließend ein wenig und lässt ihn los, führt er Schwingungen um die Gleichgewichtslage aus. Die nebenstehende Skizze zeigt den Pendelkörper in einer bestimmten Elongation $s(t)$ zu einem Zeitpunkt $t$.

Die Bewegungsgleichung:

In der die Ruhelage gilt betragsmäßig $m \cdot g=D \cdot s_0$. In jeder anderen Position gilt für die rücktreibende Kraft betragsmäßig $F=m \cdot g-D(s+s_0)$.
Aus beiden Gleichungen zusammen erhält man $F=m \cdot a=-D \cdot s$.
Umgestellt ergibt sich: $m \cdot a+D \cdot s=0$.
Damit hat man die Struktur der oben eingerahmten Gleichung und kann deren Ergebnisse nutzen.

Aus den oben stehenden allgemeinen Vorüberlegungen folgt damit: $\underline{\underline{T=2 \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{D}}}}$.

Tipp

Dieses kurze Video der Eidgenössischen Technischen Hochschule Zürich (ETH) zeigt ein u-förmig gebogenes Rohr, in dem eine gefärbte Wassersäule zu Schwingungen angeregt wird.
Beschreiben Sie, wie man während des Ablaufs des Videos "sehen" kann, dass es sich hier um eine harmonische Schwingung handelt.
Begründen Sie darüberhinaus auch rechnerisch, dass die Schwingung harmonisch ist

Zeigen Sie, dass sich die Schwingungsdauer $T$ der Wassersäule mit der Gesamtlänge $l$ berechnet zu $T=2\pi\cdot\sqrt{\frac{l}{2g}}$.

Bestimmen Sie die rücktreibende Kraft und nutzen Sie u. a. dabei Kenntnisse über den Zusammenhang zwischen Gewichtskraft, Masse und Dichte der Flüssigkeit.

Sie können an einem weiteren Schwingungsbeispiel das Verständnis der oben genannten Schritte vertiefen, indem Sie die Schritte darstellen und kommentieren, mit denen Sie die Schwingungsdauer des nachfolgend vorgestellten Pendels ermitteln.

Tipp

Stellen SIe eine Tabelle auf, in der zu Winkeln $φ$, die zunächst im Gradmaß angegeben sind, das Bogenmaß $x$ und derWert $sin(x)$ entnommen werden können. In einer vierten Spalte soll dann der Fehler angegeben werden, wenn man die Kleinwinkelnäherung verwendet, also statt $sin(x)$ die Näherung $x$ wählt.

Ermitteln Sie denjenigen Winkel, bis zu dem der Fehler höchstens 1% (5%) beträgt.

Diskutieren SIe die Aussage: "Bis 5° darf man beim Fadenpendel mit der Kleinwinkelnäherung arbeiten."

Nachfolgend sollen die Fehler, die bei Anwendung der Kleinwinkelnäherung bei der Schwingung eines Fadenpendels (s. o.) auftreten, näher untersucht werden. Dabei wird sich zeigen, dass im Rahmen schulüblicher Genauigkeiten diese Näherung bis zu einer Auslenkung des Fadenpendels bis ca. 10° verwendet werden darf.