Exkurs - Häufigkeitsverteilung beim radioaktiven Zerfall
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Wählen Sie Startwerte Ihrer Wahl für die Anzahl $N$ der Teilchen und deren Zerfallswahrscheinlichkeit $\lambda$ und führen Sie Simulationsläufe für unterschiedliche Simulationsanzahlen durch, wobei Sie den maximal möglichen Spielraum (nach oben und unten) auch ausnutzen sollten.
Notieren Sie Ihre Feststellung hinsichtlich der "Glätte" der Kurve der Häufigkeitswerte in Anhängigkeit von der Simulationsanzahl.
Ermitteln Sie einen Zusammenhang zwischen der Standardabweichung $\sigma$ und der Anzahl $N$ der Teilchen.
Füllen Sie dazu die nachfolgende Tabelle aus und erproben Sie funktionale Zusammenhänge zwischen $\sigma$ und $N$.
Wählen Sie immer die maximal mögliche Simulationsanzahl, um möglichst eindeutige Ergebnisse zu erhalten. Wählen Sie auch Zerfallswahrscheinlichkeiten im mittleren Bereich des erlaubten Intervalls.
Hinweise:
➡ Setzen Sie in der Wertetabelle als Dezimaltrennzeichen den Punkt, kein Komma.
➡ In der Funktionsgleichung unten muss "x" ersatzweise für die Größe $N$ und "y" ersatzweise für die Größe $\sigma$ stehen.
y=
Tipp 1
Schauen Sie sich die zu zeigende Formel an. Die dort auftretenden Größen geben Ihnen einen Hinweis auf den Ansatz.
U. a. stehen folgende Funktionen zur Auswahl:
Quadratische Funktion $f(x)=a \cdot x^2 + b \cdot x + c$:
a*x*x + b*x + c
Gebrochen rationale Funktion $\frac {a}{b \cdot x}$:
a/(b*x)
Wurzelfunktion $f(x)=a\cdot\sqrt{b \cdot x}$:
a*sqrt(b*x)
Exponentialfunktion $f(x)=a \cdot e^{b \cdot x}$:
a*exp(b*x)
Logarithmusfunktion $f(x)=a \cdot ln{(b \cdot x)}$:
a*log(b*x)
Sinusfunktion $f(x)=a \cdot sin{(b \cdot x)}$:
a*sin(b*x)
Wählt man Wahrscheinlichkeiten an den Rändern des erlaubten Intervalls $0\leq\lambda\leq1$, dann ergeben sich zunehmend Abweichungen von der Gausskurve. Verifizieren Sie diese Aussage durch entsprechende Simulationsläufe und geben Sie eine qualitative Begründung dafür an.
Interpretieren Sie die nachfolgende Grafik hinsichtlich der Streuung der Werte bei Aktivitätsmessungen:
Der Zerfall eines jeden radioaktiven Nuklids ist ein Zufallsprozess. Für alle Nuklide desselben Isotops ist die Zerfallswahrscheinlichkeit, unabhängig von der bereits bestehenden Lebensdauer, eine konstante Größe. Vorhersagen eines Zerfalls sind dementsprechend Wahrscheinlichkeitsaussagen, bei konkreten Messungen treten statistische Schwankungen auf: Bei einer gewissen (immer wieder gleichen) Anzahl N von Nukliden eines bestimmten radioaktiven Stoffes misst man pro Zeiteinheit Δt einmal mehr oder einmal weniger Zerfälle A=ΔN/Δt, wobei diese Zahlen der Aktivität um einen Mittelwert schwanken. Diese Schwankungsbreite ist abhängig von der Anzahl N der Nuklide: Je mehr Nuklide vorliegen, desto größer ist zwar die absolute(!) Schwankung ΔA, aber umso geringer erweist sich die relative(!) Schwankung ΔA/A.
Statistische - diskrete - Verteilungen werden in der Theorie durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion $P(x)$ beschrieben. Es werden Mittelwert $x_{0}$ und Varianz $\sigma^{ 2 }$ definiert:
$x_{ 0 }=\sum\limits_{ x }{ x \cdot P(x)}$ und $\sigma^{ 2 }=\sum\limits_{ x }{ (x-x_{ 0 })^{ 2 } } \cdot P(x)$.
Die auf 1 normierte Verteilung wird beschrieben durch die Gaussfunktion $\fbox{$g(x)=\frac{ 1 }{ \sqrt{ 2\pi }\cdot \sigma }\cdot e^{ -\frac{ (x-x_{0})^{ 2 }}{ 2\sigma^{ 2 } } }$}$ (eine Normierung auf 1 bedeutet dabei, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten, also im Graphen von $g(x)$ die Fläche unterhalb der Kurve, gerade 1 beträgt). Die Gausskurve wird aufgrund ihrer markanten Form auch Gauss'sche Glockenkurve genannt.
$x_{0}$ ist das Symmetriezentrum der Kurve (in der Grafik oben $x_{0}=0$), die Standarabweichung $\sigma$ (in der Grafik oben $\sigma=\sqrt{ \frac{ 1 }{ 2 }}$) ist der Abstand des Abszissenwertes des einzigen Maximums zu den Abszissenwerten der beiden Wendepunkte. Für die Halbwertsbreite $\delta$ ergibt sich $\delta=2\sqrt{ 2\cdot ln(2) }\cdot \sigma\approx2,3548\cdot\sigma$.
Hinweis:
➡ Im Internet finden Sie viele Darstellungen der Gausskurve mit interaktiven Einstellungsmöglichkeiten, führen Sie beispielweise eine Suche durch mit den Stichwörtern "Gausskurve" und "GeoGebra". Eine vertiefende Darstellung des Zusammenhangs zwischen der Standardabweichung $\sigma$ und der Anzahl $N$ der radioaktiven Nuklide finden Sie u. a. an dieser Stelle im dortigen Abschnitt 2.3.
Laden Sie die nebenstehende Datei herunter. Sie demonstriert für einen zufälligen Zerfall von maximal $N = 1.000$ Teilchen wiederholt einen einmaligen Zerfall, wobei die Zerfallswahrscheinlich $\lambda$ gegeben werden kann. In bis zu $z = 20.000$ Simulationsläufen wird bestimmt, wieviele Teilchen jeweils zerfallen sind.
Eine erste Grafik (blaues Histogramm) zeigt die Verteilung der Häufigkeiten, mit denen eine gewisse Anzahl von Teilchen zerfallen ist (für die nachfolgende Grafik sind eingestellt: $N = 400$, $\lambda = 0,7$ und $z = 10.000$).
In einer zweiten Grafik kann anschließend der ersten Grafik eine Gauss'sche Glockenkurve (rote Punktdarstellung) transparent überlagert werden, wobei die relevanten Parameter für die Gausskurve so einstellbar sind, bis eine optimale Übereinstimmung beider Kurven erreicht wird.
Die Excel-Dateien wurden auf einem Windows-PC erstellt. Sie enthalten teilweise VBA-Makros und ActiveX-Steuerelemente. Daher sind sie ggf. nicht kompatibel mit Rechnern anderer Betriebssysteme und auch auf Tablets i. d. R. nicht lauffähig.
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