Mathematische Grundlagen zum Zerfallsgesetz

Die natürlich vorkommenden wie auch die künstlich hergestellten radioaktiven Isotope der chemischen Elemente zeigen die Eigenschaft, dass sie sich im Laufe der Zeit in andere, oftmals wieder radioaktive Isotope eines Folgeprodukts durch Alpha- oder Beta-Strahlung umwandeln, wobei sie entweder ein Alpha-Teilchen (He⁺⁺-Kern) oder ein Elektron (e^-) bzw. ein Positron (e⁺) aussenden. In fast allen Fällen befindet sich nach einem dieser Übergänge der entstandene neue Atomkern in einem energetisch angeregten Zustand, aus dem er meist unmittelbar anschließend durch Aussenden eines Gamma-Quants in seinen Grundzustand übergeht.

Die allen solchen Zerfallsprozessen zugrunde liegende wesentliche (und eigentlich auch sofort einleuchtende) Eigenschaft besagt, dass die Anzahl der in einer (infinitesimal) kleinen Zeitspanne zerfallenden Atome, also die Aktivität $A(t)$, proportional ist zur Anzahl der zu der jeweiligen Zeit t vorhandenen Atome: $A(t) \sim N(t)$ bzw. $A(t)=\lambda \cdot N(t)$. $ \lambda\ $ ist dabei eine für das jeweilige Isotop typische Größe, die man Zerfallskonstante nennt.

Die Aktivität $A(t)$ ist jedoch nichts anderes als $A(t):=-\frac{ dN(t) }{ dt }$, sodass für die Berechnung des zeitlichen Verlaufs von $N(t)$ eine Lösung der (Differential-) Gleichung $\frac{ dN(t) }{ dt }=-\lambda \cdot N(t)$ angegeben werden muss.

Eine für eine solche Gleichung typische Lösung liefert die Exponentialfunktion $\fbox{$N(t)=N_{ 0 }\cdot e^{ -\lambda\cdot t }$}$ (Zerfallsgesetz für den radioaktiven Zerfall).

Eine besondere Eigenschaft einer solchen Exponentialfunktion ist das Vorliegen einer sog. Halbwertszeit $ T_{1/2} $, was besagt, dass es zu jedem Zeitpunkt eine für den gesamten zeitlichen Verlauf identische Zeitspanne gibt, nach der die Ausgangszahl der Atome auf die Hälfte abgesunken ist. Aus dem Zerfallsgesetz kann man ableiten, dass gilt: $\fbox{$ T_{1/2}=\frac{ ln(2) }{ \lambda } $}$.

In der Realität ist es verständlicherweise fast ausgeschlossen, die Anzahl der vorliegenden Atome zu ermitteln. Daher nutzt man den o. g. Zusammenhang zwischen Aktivität und Anzahl vorhandener Atome aus, um die Halbwertszeit der betreffenden Substanz experimentell zu ermitteln, da beide zeitlichen Verläufe dieselbe Halbwertszeit haben.

Tipp

Begründen Sie, warum die Definitionsgleichung für die Aktivität $A(t):=-\frac{ dN(t) }{ dt }$ in dieser Form sinnvoll ist und warum in ihr ein Minuszeichen auftaucht.

Tipp 1

Schauen Sie sich die zu zeigende Formel an. Die dort auftretenden Größen geben Ihnen einen Hinweis auf den Ansatz.

Beachten Sie die Abnahme der Teilchenzahl pro Zeiteinheit $\frac{ dN(t) }{ dt }$ sowie die grafische Darstellung des zeitlichen Verlaufs von ${ N(t) }$ als eine fallende Kurve.

Zeigen SIe mit Hilfe des oben genannten Zerfallsgesetzes, dass für die Aktivität gilt: $\fbox{$A(t)=A_0 \cdot e^{ -\lambda\cdot t }$}$, wobei $A_0=\lambda \cdot N_0$ ist.

Tipps

Leiten Sie die oben erwähnte Gleichung $ T_{1/2}=\frac{ ln(2) }{ \lambda } $ her.

Tipp 1

Tipp 2

Tipp 3

Tipp 4

Schauen Sie sich die zu zeigende Formel an. Die dort auftretenden Größen geben Ihnen einen Hinweis auf den Ansatz.

Nutzen Sie aus, dass nach der Halbwertszeit $T_{1/2}$ genau noch $\frac{1}{2} N_{ 0 }$ Atome vorhanden sind.

Nutzen Sie das Zerfallsgesetz $N(t)=N_{ 0 }\cdot e^{ -\lambda\cdot t }$, um $N(T_{1/2})$ zu bestimmen.

$N(T_{1/2})=N_{ 0 }\cdot e^{ -\lambda\cdot T_{1/2} }=\frac{1}{2} N_{ 0 }$

Stellen Sie die Gleichung aus Tipp 3 nach $T_{1/2}$ um.

Tipps

Leiten Sie aus $N(t)=N_{ 0 }\cdot e^{ -\lambda\cdot t }$ und $ T_{1/2}=\frac{ ln(2) }{ \lambda } $ die alternative Darstellung $N(t)=N_{ 0 }\cdot\left( \frac{ 1 }{ 2 } \right)^{ \frac{ t }{ T_{ 1/2 } } }$ des Zerfallsgesetzes her.
Begründen Sie, warum man anhand dieser Darstellung des Zerfallsgesetzes leicht erkennen kann, dass sich die Anzahl der Kerne nach einer Halbwertszeit halbiert, nach zwei Halbwertszeiten geviertelt usw. haben.

Tipp 1

Tipp 2

Schauen Sie sich die zu zeigende Formel an. Die dort auftretenden Größen geben Ihnen einen Hinweis auf den Ansatz.

Wenden Sie ein typisches Lösungsverfahren bei zwei Gleichungen an, indem Sie die eine Gleichung in die andere einsetzen.

Wenden Sie das Potenzgesetz an $a^{ n\cdot m }=\left( a^{ n } \right)^{ m }$ .

Tipps

Zeigen Sie, dass $N(t)=N_{ 0 }\cdot e^{ -\lambda\cdot t }$ eine Lösung der (Differential-) Gleichung $\frac{ dN(t) }{ dt }=-\lambda \cdot N(t)$ ist.

Tipp 1

Tipp 2

Schauen Sie sich die zu zeigende Formel an. Die dort auftretenden Größen geben Ihnen einen Hinweis auf den Ansatz.

Wenn man die Lösung einer Gleichung zu kennen meint, kann man durch Einsetzen der vermuteten Lösung prüfen, ob die Gleichung erfüllt ist.

Leiten Sie die gegebene Funktion ${ N(t) }$ ab und setzen sie das Ergebnis in die Gleichung ein.