Theoretisches zum Magnetfeld von Helmholtzspulen

Erstellen Sie eine Messtabelle für den Zusammenhang zwischen Stromstärke I und Stärke B des Magnetfelds.

Tipp

Die auf dieser Seite im Informationstext oben angegebene Gleichung für das Gesamtmagnetfeld $B$ des Helmholtzspulenpaares

$B=\frac{\mu _{0}\cdot I\cdot n}{R}\cdot \left (\frac{4}{5} \right )^{\frac{3}{2}}$

kann jetzt mit Hilfe der oben genannten Überlegungen hergeleitet werden, indem die Stärke des magnetischen Feldes auf der Achse des Helmholtzspulenpaares als Summe der beiden Felder $B_{vorn}$ und $B_{hinten}$ der beiden Helmholtzspulen vor und hinter der Mittelebene der Fadenstrahlanordnung auf ihrer gemeinsamen z-Achse berechnet.

Leiten Sie diese Gleichung für $B$ her.

Berechnen Sie die Summe der beiden Teilfelder und nutzen Sie die Koordinate z=0 für den Mittelpunkt der Helmholtzspulen.

Für die folgenden Überlegungen sei der Nullpunkt der z-Achse genau im Symmetriepunkt in der Mitte zwischen den beiden Helmholtzspulen angenommen.

Begründen Sie damit, dass man das magnetische Feld der vorderen Helmholtzspule angeben kann durch

$B_{\mathrm{vorn}}(z)=\frac{\mu_{0}\cdot I\cdot n}{2}\cdot \frac{R^{2}}{\sqrt{\left (z-\frac{R}{2} \right )^{2}+R^{2}}^{3}}$

sowie das magnetische Feld der hinteren Helmholtzspule durch

$B_{\mathrm{hinten}}(z)=\frac{\mu_{0}\cdot I\cdot n}{2}\cdot \frac{R^{2}}{\sqrt{\left (z+\frac{R}{2} \right )^{2}+R^{2}}^{3}}$ .

Unter dieser Internetadresse finden Sie eine bewegliche 3D-Animation zur Darstellung des Magnetfeldes eines stromdurchflossenen Leiterrings auf dessen Achse unter Nutzung des Biot-Savart'schen Gesetzes, bei der sehr anschaulich gezeigt werden kann, wie sich die Komponenten des Magnetfeldbeitrags bei einem vollständigen Umlauf verhalten.
In einem weiteren Teil können Sie sich auch die Auswirkung auf Helmholtzspulen anzeigen lassen.

In diesem Exkurs finden Sie Informationen, wie man auch auf theoretischem Wege das Magnetfeld von Helmholtzspulen auf ihrer gemeinsamen Achse z berechnen kann.

Helmholtzspulen sind gekennzeichnet durch ihre besondere Geometrie: Sie besitzen einen großen Durchmesser, sind aber sehr kurz. Es ist also insbesondere ihre Länge $l$ sehr klein gegenüber dem Radius $R$: $l \ll R$. Man kann daher jede Spule als einen $n$-fachen Kreisleiter auffassen. Beide Spulen haben einen Abstand $d$ voneinander, für den gilt: $d=R$.
Das zugrunde liegende Magnetfeld eines einfachen Kreisleiters $(n=1)$ berechnet sich zu: $B(z)=\frac{\mu_{0}\cdot I}{2}\frac{R^{2}}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}^{3}}$ . Eine Herleitung können Sie hier nachlesen.
Diese Gleichung ergibt sich aus dem Biot-Savart'schen Gesetz, mit dem man ganz allgemein berechnen kann, wie sich das Magnetfeld eines kleinen Leiterstückchens "dl" an irgendeinem Punkt in seiner Umgebung bemerkbar macht, was hier für den Umlauf von "dl" auf einem Kreis gezeigt wird.

Herleitung des Magnetfelds eines Kreisleiters mit Hilfe des Biot-Savart'schen Gesetzes

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