Betreff:

Zentrale Experimente Physik GOSt

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Beim Aufbau der Versuchsapparatur musste mit Hilfe einer Sammellinse als Abbildungslinse ein scharfes Bild des beleuchteten Spalts auf dem Schirm eingestellt werden. In diesem Exkurs können die Grundlagen für die wichtigsten elementaren Abbildungsvorgänge für eine Sammellinse experimentell erkundet werden.

Wählen Sie eine der drei Linsen mit den Brennweiten 80 mm, 120 mm oder 160 mm aus und verschieben Sie sie solange auf der optischen Bank, bis Sie ein scharfes Bild der hell beleuchteten "Perl-1" auf der Mattscheibe erhalten: Beschreiben Sie das Bild im Vergleich zum Original und begründen Sie die Gestalt des Bildes.
 

Zwischen der Brennweite f, der Gegenstandsweite g und der Bildweite b gibt es einen durch die sog. Linsengleichung dargestellten formalen Zusammenhang: $\frac{1}{f} = \frac{1}{g} + \frac{1}{b}$ .
Leiten Sie die Linsengleichung her, indem Sie u. a. eine Skizze für die Abbildung eines Gegenstands mit Hilfe der bildbestimmenden Strahlengänge bei einer dünnen Konvexlinse anfertigen und die sich dabei ergebenden ähnlichen Dreiecke ausnutzen.

Bestätigen Sie im Experiment, dass es für alle drei Linsen sogar jeweils zwei Positionen gibt, bei denen diese ein scharfes Bild der "Perl-1" auf der Mattscheibe produzieren. Äußern Sie eine Vermutung über diese beiden Positionen bei jeder der drei Linsen. 

Sie können durch Anklicken der Reiter deren genaue Positionsmarkierung auf der optischen Bank einblenden (zu sehen ist dann jeweils der linke Rand des jeweiligen Reiterfußes). Bestimmen Sie für die zuvor ermittelten Linsenpositionen die jeweiligen Gegenstandsweiten und bestätigen (oder widerlegen) Sie somit Ihre Vermutung. Notieren SIe die Gegenstands- und Bildweiten für eine nachfolgende Aufgabe weiter unten.

Bei gegebenem Abstand d zwischen Original und Bild gibt es, allein abhängig von der Brennweite f, maximal zwei Positionen für den Gegenstand, die zu seiner scharfen Abbildung auf der Mattscheibe führen.
Berechnen Sie diese Positionen.
Leiten Sie eine Bedingung für die Existenz dieser beiden Positionen her.
Geben Sie an, wann nur genau eine solche Position existiert.
 

Überprüfen Sie die Richtigkeit der Linsengleichung, indem Sie anhand der jeweiligen oben ermittelten Gegenstands- und Bildweiten im IBE die Brennweiten der drei Linsen gemäß der Linsengleichung ermitteln und mit der angegebenen Brennweite vergleichen.
 

Erstellen SIe mit einem dynamischen Geometrie-Tool (z. B. GeoGebra) ein Modell, mit dem Sie zeigen können, dass auch in der geometrischen Konstruktion zwei solcher exakten Abbildungspositionen bei gegebenem festem Abstand zwischen Gegenstand und Mattscheibe existieren, vorausgesetzt dieser Abstand ist in Bezug auf die Brennweite der Linse hinreichend groß.
 

Berechnen Sie die Brennweite derjenigen Sammellinse, für die eine einzige Position für eine scharfe Abbildung der Perl-1 existiert.
 

Befinden sich die drei Abbildungslinsen in der Position nahe am abzubildenden Objekt, werden die Bilder bei abnehmender Brennweite der Linsen größer. Befinden sich die Abbildungslinsen hingegen in der Position nahe am Schirm, werden die Bilder mit abnehmender Brennweite der Linsen kleiner.
Prüfen Sie dies im IBE nach und beweisen Sie die Aussage rechnerisch.
 

Erkundigen Sie sich über das Prinzip von der Umkehrbarkeit der Lichtwege und erklären Sie damit eines der voranstehenden Ergebnisse nach Ihrer Wahl.
 

Hier können Sie sich eine solche Datei ein- und ausblenden. Sie werden im Modell die Position der Reiter, Brennweitenwahl der Abbildungslinse etc. aus dem Eingangsexperiment schnell wiederfinden, wobei Sie wie im IBE die Position der Abbildungslinse (durch Anfassen mit der Computermaus im Mittelpunkt der Linse) variieren können (die Angaben im GeoGebra-Modell sind in cm gegeben).
Überprüfen Sie, ob Sie mit dem GeoGebra-Modell die im IBE ablesbaren Positionen für eine scharfe Abbildung für alle drei Linsenbrennweiten verifizieren können.
Wenn Sie Abweichungen feststellen sollten, geben Sie mögliche Gründe, warum diese Abweichungen auftreten. Klären Sie dabei auch, ob der Versatz zwischen Position von Gegenstand, Abbildungslinse und Mattscheibe aufgrund der Angabe des linken Rands des Reiterfußes hierfür verantwortlich ist.


 

Exkurs: Abbildung mit Sammellinsen

Im IBE können Sie zwischen Sammellinsen mit drei unterschiedlichen Brennweiten durch Anklicken auswählen. Die jeweils ausgewählte Sammellinse (anfangs ist es die 80mm-Linse, erkennbar an der dunkel ausgegrauten Darstellung) lässt sich durch "Anfassen" am Fuß des Reiters auf der optischen Bank verschieben, wobei auf der Mattscheibe das jeweilige durch die Linse produzierte Bild der von der Lampe beleuchteten Zahl "1" erscheint.

Tipps

Tipps

Tipp 3

Tipp 4

Tipp 1

Tipp 2

  • Fertigen Sie ein Skizze an für die Abbildung eines Gegenstands durch eine Sammellinse (zunächst ohne Mattscheibe).
  • Es sollten folgende Größen obligatorisch vorkommen:
    Gegenstandsweite g, Bildweite b, Brennweite f.
  • Notieren Sie die Linsengleichung, in der die drei zuvor genannten Größen miteinander verbunden sind.
  • Notieren Sie die Zwangsbedingung dafür, dass die (scharfe) Abbildung exakt auf der Mattscheibe liegt.
  • Denken Sie dabei an die Summe aus Gegenstandsweite g und Bildweite b in Bezug auf die Entfernung d der Mattscheibe vom Gegenstand.
  • Verwenden Sie die Linsengleichung
  • Beachten Sie die Zwangsbedingung:  $g + b = d$
  • Bestimmung von g aus beiden Gleichungen liefert die Antwort.
  • Es tritt eine quadratische Gleichung auf, die die Lösungen für die beiden Positionen liefert.

Lösung

  • $g = \frac{d}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{({d}^{2}-4df)}$  oder  $g = \frac{d}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{({d}^{2}-4df)}$).
  • Eine oder zwei verschiedene Lösungen existieren nur dann, wenn der Radikand nicht verschwindet, wenn also $f \le\frac{1}{4}d$ .


B/G = b/g
und
B/G = (b-f)/f
 

B/G = b/g

und
B/G = (b-f)/f

also:
b/g = (b-f)/f     
b/g = b/f - 1
1/g = 1/f - 1/b
1/f = 1/g + 1/b
oder auch
f = (g·b)/(g+b)

... so einfach!

Tipp zum Ansatz

Letzte Rettung: Die Lösung

Bildbestimmende Strahlengänge
(anschließend auf die Grafik klicken)

S
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