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Betreff:

# Zur allgemeinen Definition von Drehimpuls und Trägheitsmoment

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Der Drehimpuls $\vec{L}$:

Auf dieser Seite wurde der Drehimpuls $\vec{L}$ zunächst als die Größe $\vec{L}=J\cdot \vec{\omega}$ festgelegt, was sich durch eine schlichte Übertragung vom Impuls der Translation $\vec{p}=m\cdot \vec{v}$ auf die Rotation motivieren lässt. Eine grundlegendere Definition geht unmittelbar von der Analyse der kreisförmigen Bewegung eines Körpers aus:

Da es erfahrungsgemäß bei der "Drehwirkung" nicht nur der Impuls $\vec{p}=m\cdot \vec{v}$ des sich drehenden Körpers relevant ist, sondern auch dessen Abstand von der Drehachse, legt man fest: $\fbox{$\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}$}$. Dabei liefert das aus der Mathematik bekannte Vektorprodukt nicht nur den Betrag sondern auch die Richtung, die man dem Drehimpuls zuordnet.

Das Trägheitsmoment $J$:

Für den Fall, dass $\vec{r}$ und $\vec{p}$ senkrecht zueinander stehen, erhält man für den Betrag des Vektorprodukts $L=\left\lvert \vec{L} \right\rvert=r \cdot (m v)$. Mit dem für die Kreisbewegung bekannten (betragsmäßigen) Zusammenhang $v=\omega \cdot r$ zwischen der WInkelgeschwindigkeit $\omega$ und der Bahngeschwindigkeit $v$ ergibt sich $L=m r^2\cdot\omega$ .

Das Produkt $m r^2$ kennzeichnet dabei, welches "Hemmungsvermögen" ein sich um eine Achse im Abstand $r$ drehender (punktförmiger) Körper der Masse $m$ einer Veränderung seiner Drehung entgegensetzt, es ist daher ein geeignetes Maß für das sog. Trägheitsmoment $J$ dieses Körpers: $\fbox{$J=m r^2$}$.

Damit ergibt sich insgesamt die auch der oben genannten Seite durch Analogschluss gegebene Gleichung $\vec{L}=J\cdot \vec{\omega}$.

Überprüfen Sie anhand der Drei-Finger-Regel (der rechten Hand), dass sich bei Richtungsumkehr des Impulsvektors auch der Drehimpulsvektor seine Richtung umkehrt.

In der folgenden Grafik wird verdeutlicht, wie dem Drehimpuls $\vec{L}$ Richtung und Betrag zugeordnet werden.

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