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# Gleichförmige Kreisbewegung

Eine Kreisbewegung kann auch mit Hilfe des sich kontinuierlich verändernden Mittelpunktswinkels $\alpha$ beschrieben werden: Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung ist seine Änderung $ Δ\alpha$ innerhalb derselben Zeitspanne $Δt$ konstant, also ist $\frac{Δ\alpha}{Δt}$ konstant, wobei dieser Quotient als Winkelgeschwindigkeit $\omega = \frac{Δ\alpha}{Δt}$ bezeichnet wird (zu beachten ist, dass die dabei verwendeten Winkel immer im Bogenmaß anzugeben sind).
Wie der Geschwindigkeit $\vec v$ kann man auch der Winkelgeschwindigkeit $\vec \omega$ eine Richtung zuordnen und $\vec \omega$ damit als vektorielle Größe festlegen: Der Vektorpfeil liegt in der gedachten Drehachse. Seine Länge wird durch den Betrag der Winkelgeschwindigkeit bestimmt, seine Richtung durch den Drehsinn des rotierenden Körpers. Der Pfeil zeigt immer in die Richtung, in die sich eine Schraube bei einer Rechtsdrehung bewegen würde (zur Veranschaulichung hier klicken).

Ein Körper $P$, der sich auf einer Kreisbahn bewegt, kann diese Bahn mit einer betragsmäßig konstanten oder auch mit einer betragsmäßig wechselnden Bahngeschwindigkeit $\vec v$ durchlaufen. Besonders häufig und wichtig für Anwendungen ist die Kenntnis der die Bewegung beschreibenden Größen für den Fall einer betragsmäßig konstanten Bahngeschwindigkeit des Körpers: man spricht dann auch von einer gleichförmigen Kreisbewegung. Die Geschwindigkeit $\vec v$ ist allgemein eine vektorielle Größe, da neben ihrem Betrag auch die Richtung eine wichtige beschreibende Größe ist. So ist also beim Durchlaufen eines Kreises die Geschwindigkeit genau genommen nie konstant, da sich allein schon die Richtung permanent verändert.

Im Zusammenhang mit der gleichförmigen Kreisbewegung haben auch noch folgende Größen und ihre Zusammenhänge untereinander eine besondere Bedeutung:
► Mit der Umlaufdauer $T$ bezeichnet man die Dauer für einen vollständigen Umlauf des Punktes P auf dem Kreis.
► Mit der Frequenz $f$ bezeichnet man die Anzahl $n$ der Umläufe pro Zeiteinheit: $f=\frac{n}{1s}$. Daher besteht zwischen $f$ und $T$ die einfache Beziehung $f=\frac{1}{T}$.
► Zwischen dem Betrag der Bahngeschwindigkeit $v$ und dem Betrag der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ lässt sich damit folgende Beziehung ableiten:
Einerseits ist $v=\frac{Δs}{Δt}=\frac{2\pi r}{T} = 2\pi r \cdot f$ und anderseits $\omega = \frac{Δ\alpha}{Δt}=\frac{2\pi}{T}=2\pi\cdot f$, sodass sich daraus ergibt: $v=\omega\cdot r$.

Da die Bahngeschwindigkeit $\vec v$ und die Winkelgeschwindigkeit $\vec\omega$ vektorielle Größen sind und der Vektor $\vec r$ vom Kreismittelpunkt zum Punkt $P$ zeigt, kann man die betragsmäßige Gleichung $v=\omega\cdot r$ mit Hilfe des Vektorprodukts erweitern zu $\vec v=\vec\omega × \vec r$, da damit auch alle drei Richtungen richtig angegeben werden.

Hinweis: Sie können sich durch Auswahl der beiden nachfolgenden Bilder zwei 3D-Animationen anschauen, die die räumliche Anordnung der drei beteiligten Vektoren veranschaulicht (eine Drehung der Grafik verstärkt dort den räumlichen Eindruck weiter).

Sollten Sie eine Rot-Cyan-Anaglyphenbrille zur Verfügung haben, können Sie sich mit der zweiten Animation an dieser Stelle eine noch deutlichere räumliche Orientierung verschaffen.

Stellen Sie in der Animation beliebige Werte für den Radius $r$ des Umlaufkreises und den Betrag $v$ des Geschwindigkeitsvektors ein.
Berechnen die sich aus diesen beiden Werten ergebenden Werte für die Winkelgeschwindigkeit $\omega$, die Frequenz $f$ und die Umlaufdauer $T$.
Überprüfen Sie die Ergebnisse für $\omega$ und $T$, indem Sie mit Hilfe des Winkelmesswerkzeugs $\omega$ gemäß $\omega = \frac{Δ\alpha}{Δt}$ und $T$ anhand der Zeit $t_P$ für einen vollständigen Umlauf ermitteln.

Berechnen Sie für die von Ihnen eingestellten Werte für Radius $\vec r$ und Geschwindigkeit $\vec v$ den Winkel, um den sich $P$ in $1s$ weiterdreht.
Überprüfen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie die Markierungen im Sekundentakt einblenden und das Winkelmesswerkzeug entsprechend verwenden.

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Die folgende Animation können Sie zur Veranschaulichung der soeben hergeleiteten Zusammenhänge heranziehen. Radius des Umlaufkreises und Betrag des Geschwindigkeitsvektors von $P$ können vorgegeben werden.